Лекции по высшей математике
с анимацией и тестированием

Логика и множества

      Высказывания. Операции над высказываниями. Тавтологии. Теоремы. Предикаты. Множества, операции над ними, свойства операций. Отношения между множествами. Свойства отношений.
      Анимация переключательной схемы.
      Знакомство с системой Mathematica. Применение системы Mathematica для проверки истинности высказываний и выполнения операций над ними, для решения простых задач теории множеств.

      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Числа

      Множества чисел. Натуральные числа и метод математической индукции. Факториал. Бином Ньютона. Действительные числа. Модуль действительного числа. Верхняя и нижняя грани множества. Алгоритм.
      Анимация бинома Ньютона, определений верхней и нижней грани, процесса вычисления квадратного корня.
      Множества чисел в системе Mathematica. Применение этой системы для вычисления биномиальных коэффициентов, упрощения выражений с ними, проверки тождеств, построения треугольника Паскаля. Вычисление модуля.

      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Функция I

      Понятие функции и отображения. Способы задания функции, классификация функций. Основные элементарные функции. Понятие элементарной функции.
      Анимация суперпозиции двух функций, демонстрации графиков.
      Особенности использования основных элементарных функций, встроенных в систему Mathematica. Задание пользователем собственных функций. Построение графиков функций в системе Mathematica. Возможности системы для определения области существования и множества значений функции.

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Функция II

      Функции, заданные параметрически на плоскости. Полярная система координат. Функции нескольких переменных. Функции, заданные параметрически в пространстве. Неявно заданные функции.
      Анимация образования кривых и поверхностей. Анимационные галереи для демонстрации графиков.
      Применение системы Mathematica для изображения графиков функций различных типов.

      Скачать pdf-файл.      1,8 MB

Предел функции

      Расширенное множество действительных чисел. Окрестности. Понятие предела. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
      Анимация существования предела и одного доказательства.
      Вычисление пределов в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Теоремы о пределах

      Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм. Сравнение бесконечно малых, применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
      Продолжение вычисления пределов в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Непрерывность функции

      Функция, непрерывная в точке. Непрерывность слева и справа. Теоремы о функциях, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Функция, непрерывная на отрезке. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
      Анимация понятий непрерывности и разрывности функции. Анимация галереи разрывных функций.
      Применение системы Mathematica для задания и исследования разрывных функций.

      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Комплексные числа

      Понятие комплексного числа. Его изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа, его алгебраическая и тригонометрическая формы. Действия над комплексными числами.
      Анимация комплексной плоскости, сложения и вычитания комплексных чисел, извлечения корня из комплексного числа. Тестирование правильности выполнения арифметических операций над комплексными числами.
      Решение задач с помощью системы Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Комплексная функция

      Функция комплексного переменного. Экспонента с чисто мнимым показателем. Показательная форма комплексного числа. Гармонические колебания в электрических цепях. Разложение многочлена на множители.
      Анимация комплексного отображения.
      Комплексные функции, решение комплексных уравнений, разложение многочленов на множители в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      1,4 MB

Основные элементарные комплексные функции

      Определение основных элементарных функций комплексного переменного: экспоненты, логарифма, общей показательной и общей степенной функций, тригонометрических и обратных тригонометрических функций, гиперболических и обратных гиперболических функций. Гиперболические функции действительного аргумента, их свойства и графики.
      Анимация движения по гиперболе.
      Особенности использования основных элементарных комплексных функций в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Производная

      Понятие производной функции. Геометрический, механический и электрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Дифференцируемость функции. Теоремы о производных. Методы дифференцирования. Таблица производных.
      Анимация геометрического и механического смысла производной. Тесты на знание таблицы производных и дифференцирование сложных функций.
      Вычисление производных в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Дифференциал

      Понятие дифференциала, его геометрический смысл. Дифференциал в приближенных вычислениях. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.
      Анимация наглядного представления дифференциала, его геометрического смысла и механического смысла второй производной.
      Вычисление производных высших порядков в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Теоремы о среднем

      Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя. Разрешение неопределенностей различных типов.

     Анимация геометрической интерпретации теорем Лагранжа и Коши.




      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Формула Тейлора

      Многочлен Тейлора. Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и в форме Пеано. Разложение по формуле Тейлора некоторых функций. Применение формулы Тейлора в математике и физике.
     Анимация аппроксимации синуса многочленом Тейлора.
     Система Mathematica и разложение функций по формуле Тейлора.


      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Экстремумы функции

      Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Минимум и максимум функции. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функции, выражаемые с помощью первой, второй и более высокого порядка производных. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
     Анимация критерия монотонности и необходимого условия экстремума.
     Поиск экстремумов функций в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Анализ поведения функции

      Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
     Анимация понятий выпуклости функции и точки перегиба.
     Исследование функций в системе Mathematica.



      Скачать pdf-файл.      1,6 MB

Интерполяция функций

     
     Понятие интерполяции функции. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона для неравноотстоящих узлов. Интерполяция в таблице. Многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов. Аппроксимация сигнала. Оценка погрешности и расстановка узлов интерполяции.
      Анимация интерполяции сигнала.
     Интерполяция функций в системе Mathematica и ее применение.


      Скачать pdf-файл.      0,9 MB

Векторная функция скалярного аргумента

     Понятие векторной функции скалярного аргумента (ВФСА), ее предел и непрерывность. Производная ВФСА, ее геометрический смысл. Касательная, нормаль и нормальная плоскость кривой. Скорость и ускорение криволинейного движения.
      Анимация образования годографов кривых, геометрического смысла производной ВФСА, динамики изменения векторов скорости и ускорения.
     Задание ВФСА в системе Mathematica. Вычисление производных ВФСА и построение траекторий движения.

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Итерационные методы поиска
корней функции

      Численные методы решения уравнений. Отделение корней. Метод простых итераций. Метод хорд. Метод касательных. Численное решение систем уравнений.
      Анимация процессов сходимости итерационных методов.
      Численное решение уравнений и их систем в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      1,3 MB

Частные производные

      Классификация точек и множеств в n-мерном пространстве. Понятие окрестности. Предел и непрерывность функции нескольких аргументов. Теоремы о непрерывных функциях. Частные производные. Теорема о неявной функции.
      Тест-анимация для проверки умения брать частные производные.
      Вычисление пределов функций нескольких переменных в системе Mathematica, вычисление частных производных.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Полный дифференциал

      Полный дифференциал функции. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
      Анимация наглядного представления полного дифференциала.
      Применение системы Mathematica для вычисления частных производных высших порядков и решения связанных с ними задач.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Экстремумы функции нескольких переменных

      Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный и безусловный экстремумы. Метод множителей Лагранжа. Необходимые условия условного экстремума. Его достаточные условия. Поиск наименьшего и наибольшего значений функции нескольких аргументов в ограниченной замкнутой области.
      Анимация особенностей поиска наименьшего и наибольшего значений функции.
      Отыскание экстремумов функций в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Метод наименьших квадратов

      Суть метода наименьших квадратов. Минимизация векторной функции векторного аргумента. Дифференцирование по вектору. Метод наименьших квадратов для степенной модели. Линейная, параболическая и кубическая модели. Решение учебно-практического примера.
      Анимация особенностей аппроксимации функций методом наименьших квадратов.
      Метод наименьших квадратов в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Неопределенный интеграл

      Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.
      Тест на знание таблицы интегралов, на понимание методов интегрирования подстановкой и по частям.
      Интегрирование с помощью системы Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Интегрирование ДРФ

      Понятие дробно-рациональной функции (ДРФ). Классификация ДРФ. Интегрирование простейших ДРФ. Разложение правильной ДРФ на сумму простейших ДРФ. Интегрирование правильных ДРФ. Интегрирование неправильных ДРФ.
      Интегрирование ДРФ в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Интегрирование тригонометрических функций

      Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование функций, рациональных относительно синуса и косинуса. Интегралы от sin mx и cos nx. Интегралы от произведений синусов и косинусов. Интегрирование гиперболических функций.
      Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Интегрирование иррациональных функций

      Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок.
      Интегрирование иррациональных функций в системе Mathematica.



      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Определенный интеграл

      Площадь криволинейной трапеции и определенный интеграл. Интегрируемость функции. Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
      Анимация понятия определенного интеграла и интеграла с переменным верхним пределом.
      Вычисление определенных интегралов в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Длина дуги и кривизна кривой

      Длина дуги кривой и ее вычисление в различных системах координат. Кривизна кривой. Кручение. Радиус, центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Естественный трехгранник кривой. Формулы Френе.
      Анимация характеристик кривой. Анимация эволюты и эвольвенты.
      Расчет характеристик кривых в системе Mathematica.



      Скачать pdf-файл.      1,7 MB

Геометрические приложения определенного интеграла

      Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур, объемов и поверхностей вращения в декартовых и полярных координатах,
а также при параметрическом задании кривых.
      Применение системы Mathematica для вычисления перечисленных
величин.



      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Физические приложения определенного интеграла

      Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской фигуры. Моменты инерции материальной кривой и плоской фигуры.





      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Несобственные интегралы

      Понятие несобственного интеграла с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от разрывной функции. Сходимость и расходимость. Сходимость абсолютная и условная. Теоремы сравнения. Замена переменной и интегрирование по частям для несобственных интегралов.
      Анимация сходимости и расходимости несобственных интегралов.
      Вычисление несобственных интегралов в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      0,9 MB

Интегралы, зависящие от параметров

      Собственные интегралы, зависящие от параметров. Их непрерывность и дифференцируемость. Применение к вычислению обычных определенных интегралов. Несобственные интегралы, зависящие от параметров. Равномерная сходимость интегралов. Гамма- и бета-функции и их применение.
      Анимация последствий неравномерной сходимости интегралов.
      Особенности использования системы Mathematica для вычисления интегралов, зависящих от параметров. .


      Скачать pdf-файл.      1,1 MB

Дифференциальные уравнения
первого порядка I

      Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными. Особые решения. Огибающая. Однородные уравнения.
      Анимация процессов в RC-контуре.
      Решение дифференциальных уравнений первого порядка в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Дифференциальные уравнения
первого порядка II

      Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати.
      Анимация процессов в RL-контуре.
      Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка, уравнений Бернулли и Риккати в системе Mathematica. Численное решение уравнения для тока в RL-контуре, когда входное напряжение является "телеграфным сигналом", "треугольной" и "пилообразной" функциями.

      Скачать pdf-файл.      0,9 MB

Уравнения в полных дифференциалах

      Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах и их интегрирование. Интегрирующий множитель, методы его отыскания. Решение дифференциальных уравнений первого порядка методом интегрирующего множителя.
      Анимация переходного процесса в электрическом контуре.



      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Дифференциальные уравнения высших порядков

      Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
      Анимация перестройки решения дифференциального уравнения.
      Решение дифференциальных уравнений высших порядков в системе Mathematica. Преобразование комплексных решений в действительные.

      Скачать pdf-файл.      1,1 MB

Однородные ЛДУ высших порядков

      Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Применение к задачам электротехники
      Анимация свободных колебаний в RLC-контуре.
      Решение линейных однородных дифференциальных уравнений в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

      Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Решение методом вариации произвольных постоянных. Формула Остроградского-Лиувилля и ее применение.



      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Неоднородные ЛДУ
с постоянными коэффициентами

      Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Методы решения. Применение к задачам электротехники
      Анимация вынужденных колебаний в RLC-контуре. Изучение с помощью анимации типов колебаний в LC-контуре.
      Решение дифференциальных уравнений в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      1,2 MB

Нормальные системы дифференциальных уравнений

      Нормальная система дифференциальных уравнений (ДУ). Фазовое пространство и фазовый портрет системы. Понятие решения системы ДУ. Решение системы ДУ методом исключения неизвестных. Линейные системы ДУ. Однородная и неоднородная системы. Фундаментальная система решений линейной однородной системы, структура ее общего решения. Фундаментальная матрица системы.
      Анимация графиков решений и фазовых портретов систем.
      Mathematica решает системы ДУ и рассчитывает электронные схемы.

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Системы ЛДУ с постоянными коэффициентами

      Однородные системы линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Тип решения в зависимости от типа собственных значений матрицы системы. Неоднородные системы ЛДУ. Структура общего решения. Решение систем неоднородных ЛДУ с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.
      Анимация процессов в связанных электрических контурах.
      Mathematica в качестве вспомоогательного средства при аналитическом решении линейных систем уравнений.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Устойчивость линейных систем

      Автономные и неавтономные системы дифференциальных уравнений. Положение равновесия, точка покоя. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость линейных систем второго порядка. Теоремы об устойчивости линейных систем n-го порядка.
      Анимация понятий устойчивости и фазовых портретов линейных систем второго порядка.
      Использование системы Mathematica для исследования систем дифференциальных уравнений на устойчивость.

      Скачать pdf-файл.      4,1 MB

Критерии устойчивости

      Устойчивость по линейному приближению. Положительно и отрицательно определенные функции. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Критерии устойчивости Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара, Михайлова.
      Анимация кривой Михайлова.
      Реализация в системе Mathematica критериев проверки на устойчивость.


      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Двойной интеграл I

      Общая схема определения новых типов интегралов. Общие свойства раз- личных видов интегралов. Задача об объеме цилиндроида. Понятие двойного интеграла. Его вычисление с помощью повторного интеграла в случае областей, правильных в направлении одной из координатных осей.
      Анимация понятия двойного интеграла.
      Вычисление двойных интегралов в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      1,6 MB

Двойной интеграл II

      Двойной интеграл в криволинейных координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
      Возможности системы Mathematica для манипуляций с двойными интегралами в криволинейных координатах. Вычисление геометрических и физических характеристик плоских областей.


      Скачать pdf-файл.      1,9 MB

Тройной интеграл

     Понятие тройного интеграла. Условия его существования.Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Геометрическое и физические приложения тройного интеграла.
      Применение системы Mathematica для вычисления тройных интегралов.


      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Криволинейный и поверхностный интегралы

     Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение.
      Вычисление криволинейного и поверхностного интегралов в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Интегралы по мере

     Мера множества и интеграл по мере. Поверхности и тела в n-мерном пространстве. Теорема существования интеграла по мере. Теорема о среднем. Измеримые множества и n-кратный интеграл, его вычисление. Замена переменных в n-кратном интеграле.
      Анимация внутренней и внешней мер множества, аппроксимаций дельта-функции.
      Вычисление n-кратных интегралов в системе Mathematica, возможности использования дельта-функции.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Скалярное поле

     Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент, свойства градиента. Производная скалярного поля по направлению некоторой кривой. Ортогональность поверхностей (линий) уровня.
      Применение системы Mathematica для изображения скалярных полей, вычисления их градиентов и производных по направлению, для изображения полей градиента на плоскости и в пространстве.

      Скачать pdf-файл.      0,9 MB

Работа и циркуляция

     Понятие векторного поля. Векторная линия и векторная трубка. Работа и циркуляция векторного поля. Линейный интеграл, его существование и вычисление. Особое свойство линейного интеграла.
      Анимация возникновения циркуляции.
      Изображение векторного поля, вычисление работы и циркуляции в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      2,1 MB

Поток векторного поля

     Ориентация гладкой поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности с краем. Ориентация кусочно гладкой поверхности. Поток векторного поля, его существование, свойства и вычисление.
      Анимация понятий двусторонней и односторонней поверхности.
      Использование системы Mathematica для вычисления потоков векторных полей.

      Скачать pdf-файл.      5,1 MB

Ротор и дивергенция

     Интегральные теоремы векторного анализа. Формула Грина для связной и многосвязной области. Формула Стокса. Ротор. Его инвариантное определение и вычисление. Формула Остроградского. Дивергенция. Ее инвариантное определение и вычисление.
      Анимация превращения односвязной области в многосвязную.
      Вычисление локальных характеристик поля в системе Mathematica.

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Потенциальность и соленоидальность

     Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. Потенциальное поле и потенциальная функция, ее вычисление. Соленоидальное поле и векторный потенциал. Свойства соленоидального поля. Гармоническое поле. Оператор и уравнение Лапласа. Гармоническая функция. Операции первого и второго порядка, их свойства. Электромагнитное поле как совокупность двух взаимодействующих полей.

      Скачать pdf-файл.      0,7 MB

Предел и производная комплексной функции

     Бесконечно удаленная точка, стереографическая проекция. Классификация точек, окрестностей, областей и кривых. Предел и непрерывность комплексной функции. Аналитическая функция, условия Коши-Римана. Связь между аналитическими и гармоническими функциями. Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Понятие о конформном отображении.
      Анимация стереографической проекции.
      Использование системы \Mathematica в области аналитических функций.

      Скачать pdf-файл.      2,6 MB

Комплексный интеграл

     Интеграл по комплексному аргументу, его свойства. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница и формула интегрирования по частям. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши.





      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Числовые ряды

     Геометрическая прогрессия. Понятие ряда, его суммы и сходимости. Необходимый признак сходимости ряда. Действия над сходящимися рядами. Остаток ряда.






      Скачать pdf-файл.      0,2 MB

Ряды с положительными членами

     Признаки сравнения рядов с положительными членами. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признакиДаламбера, Коши, интегральный признак Коши.






      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Абсолютная и условная сходимости

     Знакочередующийся ряд. Признак сходимости Лейбница. Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимости. Общий комплексный ряд. Теорема об абсолютной сходимости. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.






      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Функциональные ряды

     Понятие функционального ряда. Его равномерная сходимость. Непрерывность суммы ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.
      Анимация понятия равномерной сходимости.





      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Степенные ряды

     Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус, круг и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора и ряд Маклорена. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях.





      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Ряды Фурье

     Гармоники и их характеристики. Конечные суммы гармоник, гармонический анализ. Скалярное произведение функций, их ортогональность.Норма функции. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система функций. Общий ряд Фурье и его коэффициенты. Тригонометрический ряд Фурье. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций.
      Анимация сходимости ряда Фурье.
      Гармонический анализ в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Сходимость ряда Фурье

     Сходимость в среднем. Условие сходимости в среднем ряда Фурье. Равномерная и поточечная сходимости ряда Фурье. Минимальность частичной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Физический смысл равенства Парсеваля.
      Анимация равномерной сходимости ряда Фурье.




      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

В т.ч. комплексный ряд Фурье

     Ряд Фурье 2l-периодической функции, заданной на произвольном отрезке длины 2l. Ряды Фурье по синусам и по косинусам. Ряд Фурье для непериодической функции. Комплексный ряд Фурье.
      Дополнительные возможности использования системы Mathematica в области рядов Фурье.




      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Преобразования Фурье

     Интеграл Фурье. Синус- и косинус преобразования Фурье. Комплексный интеграл Фурье. Спектральная плотность. Случай четной и нечетной функции. Связь между спектральной плотностью, синус-и косинус-преобразованиями Фурье. Физический смысл спектральной плотности. Теорема Котельникова и передача сообщений.
      Анимация применения теоремы Котельникова.
      Преобразования Фурье в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Ряд Лорана

      Понятие ряда Лорана, область его сходимости. Правильная и главная части ряда Лорана. Условия разложимости функций в ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Правильные и особые точки функции, их классификация. Определение типа изолированных особых точек с помощью ряда Лорана. Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.




      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Вычеты

      Понятие вычета в обыкновенной точке. Вычисление вычетов функции. Вычет в бесконечно удаленной точке. Вычисление комплексных и определенных интегралов с помощью вычетов.
      Использование системы Mathematica для вычисления вычетов.





      Скачать pdf-файл.      0,3 MB

Уравнения в частных производных

      Уравнение в частных производных, его решение. Классификация уравнений второго порядка. Колебания струны, волновое уравнение, начальные условия. Бесконечная струна, решение волнового уравнения методом Даламбера. Закрепленная струна, граничные условия, решение волнового уравнения методом Фурье.
      Анимация решений волнового уравнения.
      Решение волнового уравнения в системе Mathematica.


      Скачать pdf-файл.      1,2 MB

Уравнение теплопроводности

      Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня. Численное решение уравнения теплопроводности методом сеток.
      Решение уравнения теплопроводности в системе Mathematica.





      Скачать pdf-файл.      0,4 MB

Уравнение Лапласа

      Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Краевые условия. Задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуассона. Численное решение задачи Дирихле для плоской области.
      Решение уравнения Лапласа в системе Mathematica.





      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Преобразование Лапласа

      Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Примеры изображения некоторых функций. Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригиналов и изображений. Теоремы о запаздывании и опережении оригиналов.
      Применение системы Mathematica для получения изображений кусочно-непрерывных и периодических функций. Телеграфные, пилообразные и др. сигналы.


      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Теоремы операционного исчисления

      Свертка оригиналов и ее изображение. Интеграл Дюамеля. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Обращение преобразования Лапласа. Таблица "изображение-оригинал".
      Анимация получения свертки. Тест на знание таблицы "изображение-оригинал".
      Обратное преобразование Лапласа в системе Mathematica. Специальный метод обращения периодических функций для дальнейшего использования при решении дифференциальных уравнений.

      Скачать pdf-файл.      0,6 MB

Применение операционного метода I

      Решение линейного дифференциального уравнения операционным методом. Применение интеграла Дюамеля. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом.
      Решение некоторых задач из области электротехники и их анимация.
      Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом в системе Mathematica. Решения для кусочно-непрерывных и периодических сигналов

      Скачать pdf-файл.      0,8 MB

Применение операционного метода II

     
      Решение уравнений математической физики операционным методом. Решение уравнения теплопроводности. Решение телеграфного уравнения.
      Анимация решений рассмотренных уравнений.
     

      Скачать pdf-файл.      0,5 MB

Предметный указатель

     

Обновляется по мере написания новых лекций и корректировки старых.      




      Скачать pdf-файл.      0,1 MB